第十四讲 典型试题分析小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛多做好题是提高解题能力的有效途径本讲中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析与解答，希望对开拓思路能起一点作用例1 龟兔赛跑，全程5/2公里，兔子每小时跑20公里，乌龟每小时3公里，乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟然后玩20分钟，再跑3分钟然后玩20分钟，问先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？分析 只要分别求出乌龟和兔子到达终点各用了多少分钟例2 下图是两个互相啮合的齿轮，大的是主动轮，小的是从动轮，大齿轮半径为105，小齿轮半径为90现在两个齿轮的标志线在同一直线上，问大齿轮至少转了多少整圈后，两条标志线又在同一直线上？分析 这道题可以看成下面的问题：在A点有甲、乙二人，同时、同速出发分别沿着两条跑道跑圈，问甲沿左边大圈至少跑了多少圈后，乙沿右边小圈跑到了A点或B点？例3 王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后，就连续休息两天，如果这个星期六和星期天他休息，那么至少再过几个星期后，他才能又在星期天休息？分析 首先应该计算出至少过了多少天，王师傅又在星期天休息，由于他是连续休息2天，因此可能出现两种情况：星期六和星期天，星期天和星期一。例4 祖父现在的年龄是小明年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍，又过几年以后，祖父年龄将是小明年龄的4倍，求祖父今年多少岁？分析 在“年龄问题”中，有一条差不变原理要注意，也就是说无论什么时候，祖、孙二人的年龄差都是一样的例5 下图中8个顶点处标注数字a，b，c，d，e，f，g，h， （abcd）（efgh）的值例6 从1100这100个不等的数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100，有多少种不同的取法？分析 在这100个不等的数中，每次取出2个其中必有一个较小的，又这二数之和要大于100，我们可以枚举较小数的所有可能取值情况来讨论例7 有A、B、C三人参加M项全能比赛，在每一个项目中，第一名、第二名和第三名分别得分P1、P2和P3，它们都是自然数，并且P1P2P3，最后计算总分时，A得22分，B与C均得9分，B跑百米第一，问：M等于多少？在跳高比赛中，谁得第二名？分析 我们来分析如何求M，由于题中已知有百米和跳高两项比赛，所以M至少是2，又由已知条件知有：M（P1P2P3）229240所以M是40的约数，M的可能取值只有2、4、5、8、10、20、40以下只需依次枚举试验，淘汰非解例8 1978年，有个人在介绍自己的家庭时说：我有一儿一女，他们不是双胞胎，儿子年龄的立方，加上女儿年龄的平方，正好是我的出生年，我是在1900年以后出生的，我的儿女都不满21岁，我比我妻子大8岁，请求出全家每个人的年龄分析 本题的关键在于先确定儿子的年龄，其次是求出女儿的年龄，这可用前面介绍的“筛”法来做到例9 问5条直线最多将平面分为多少份？分析 直接想五条直线的情况不好想，先研究一些简单的情况，不难知道：一条直线最多将平面分为2部分；二条直线最多将平面分为4部分；三条直线最多将平面分为7部分；四条直线最多将平面分为11部分；五条直线的图不易画出，所以很难下结论，分析一下上面特殊情形的结论，看看能不能发现一些规律二条直线分平面的4部分恰好是在一条直线分平面的2部分的基础上增添了2部分；三条直线分平面的7部分恰好是在二条直线分平面的4部分的基础上增添了3部分，类似地，四条直线分平面的11部分是在三条直线分平面的7部分的基础上增添4部分，怎样解释这个规律呢？我们以四条直线的情形作为例子三条直线将平面分为7部分，新加上一条虚线，由于要求分平面的部分数尽可能多，所以新添虚线不能过实线的交点，这样，虚线与三条实线有三个交点，这三个交点将虚线分为四段，其中的每一段都将所在的平面部分一分为二，所以也就是使所分平面的份数增加4例10 在平面上画20个圆，问这20个圆最多可能将平面分为多少个部分？分析 直接画出20个圆去数当然是行不通的先考虑一些简单的情况：一个圆最多分平面为2部分；二个圆最多分平面为4部分；三个圆最多分平面为8部分；当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆应与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆分为2段，其中每一段弧都将所在平面部分一分为二，所以所分平面部分数在原有2部分的基础上又增添2部分同样道理，三个圆最多分平面的部分数是在2个圆分平面为4部分的基础上又增加4部分例11 有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数之和，已知前面两个数是0和1，问最后一个数除以6的余数是多少？分析 直接求第70个数除以6的余数不容易，先求它除以2和除以3的余数例12 43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数互不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片，问他们共买了多少张3分的画片？分析 本题实际上是要将8到50的所有自然数表示成若干个3与若干个5的和，其中5的个数要尽可能多因为求的是3的个数，所以只要求出8至12的表示中有多少个3即可思考：本题中如果要求5分画片共买多少张应怎样做？如果本题改为让3分画片尽可能多，求5分画片共有多少张，应怎样做？例13 有十个人各拿一只提桶同时到水龙头前排队打水设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，如此下去问：当只有一个水龙头时，应如何安排这十个人的次序，使他们总的费时为最少？这时间等于多少分钟？当只有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使他们总的花费时间为最少？这时间等于多少分钟？习题十四1计算 3/910/5（1/40/952）2某项工程，甲队独做12天完成，乙队独做24天完成，若按整日安排两队工作，且两队合作的天数尽可能少，怎样安排才能使这项工作恰好10天完成，这样两队合做了几天？3有一辆汽车，以某一固定的速度从甲地行驶至乙地，如果每小时比原定的行驶速度快6公里，就可以早到5分钟；如果每小时比原定的行驶速度慢5公里，就要迟到6分钟，求甲、乙两地的距离？4一项工程甲独做50天可以完成，乙独做75天完成，现在二人合做，但中途乙因事离开了几天，从开工后40天把这个工程做完，问乙中途离开几天？5从1到1988的自然数中，每次取两个不同的数，要使它们的和大于1988共有多少种取法？6A，B二人的对话如下：A问：你有几个孩子？B答：3个A问：他们的年龄各是多少？B答：他们的年龄的积是36，和恰好等于你家门牌号A说：你的条件还不够B说：老大现在上小学，其余两个还没上学请根据对话判断：三个孩子的年龄分别为多少岁？7有一串数，第一个数是1989，第二个数是1988，以后每个数是它前边两个数的差（以大减小），问这串数的第1989个数是多少？8有一天，

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