第二章函数概念与基本初等函数i 2 8函数与方程 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 f x 0 x轴 零点 知识梳理 1 答案 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间内有零点 即存在c a b 使得 这个 也就是方程f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c 答案 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 4 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 思考辨析 答案 1 函数f x ex 3x的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 f x 在 1 0 内有零点 又f x 为增函数 函数f x 有且只有一个零点 b 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 2015 安徽 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 a y cosxb y sinxc y lnxd y x2 1解析由于y sinx是奇函数 y lnx是非奇非偶函数 y x2 1是偶函数但没有零点 只有y cosx是偶函数又有零点 a 解析答案 1 2 3 4 5 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 因此f 1 f 2 0 故由零点存在性定理知函数f x 在区间 1 2 内有零点 故选b b 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析当x 2时 g x x 1 f x x 2 2 当0 x 2时 g x 3 x f x 2 x 当x2时 方程f x g x 0可化为x2 5x 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 当0 x 2时 方程f x g x 0可化为2 x 3 x 无解 当x 0时 方程f x g x 0可化为x2 x 1 0 所以函数y f x g x 的零点个数为2 答案a 1 2 3 4 5 5 函数f x ax 1 2a在区间 1 1 上存在一个零点 则实数a的取值范围是 解析 函数f x 的图象为直线 由题意可得f 1 f 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 命题点1函数零点所在的区间 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 c 题型一函数零点的确定 解析答案 思维升华 命题点2函数零点个数的判断 所以f x 在 0 上是增函数 又因为f 2 2 ln20 所以f x 在 0 上有一个零点 综上 函数f x 的零点个数为2 2 解析答案 思维升华 2 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是 a 多于4b 4c 3d 2 b 解析由题意知 f x 是周期为2的偶函数 在同一坐标系内作出函数y f x 及y log3 x 的图象 如图 观察图象可以发现它们有4个交点 即函数y f x log3 x 有4个零点 解析答案 思维升华 命题点3求函数的零点 解析答案 思维升华 f x x2 3x f x x2 3x 令g x x2 3x x 3 0 函数g x f x x 3的零点的***是 2 1 3 故选d 答案d 解析当x 0时 f x x2 3x 令g x x2 3x x 3 0 得x1 3 x2 1 当x0 f x x 2 3 x 思维升华 思维升华 1 确定函数零点所在区间 可利用零点存在性定理或数形结合法 2 判断函数零点个数的方法 解方程法 零点存在性定理 结合函数的性质 数形结合法 转化为两个函数图象的交点个数 所以函数f x 的零点所在区间为 2 4 c 解析因为f 1 6 log21 6 0 f 2 3 log22 2 0 ***训练1 解析答案 解析答案 f 0 f 1 0 故函数f x 在 0 1 至少存在一个零点 又f x 显然为增函数 f x 零点个数为1 答案b 可得交点只有一个 所以零点只有一个 故选b 例4若关于x的方程22x 2xa a 1 0有实根 求实数a的取值范围 题型二函数零点的应用 解析答案 思维升华 解方法一 换元法 设t 2x t 0 则原方程可变为t2 at a 1 0 原方程有实根 即方程 有正根 令f t t2 at a 1 若方程 有两个正实根t1 t2 解析答案 若方程 有一个正实根和一个负实根 负实根不合题意 舍去 则f 0 a 1 0 解得a 1 若方程 有一个正实根和一个零根 解析答案 思维升华 思维升华 对于 a f x 有解 型问题 可以通过求函数y f x 的值域来解决 解的个数可化为函数y f x 的图象和直线y a交点的个数 则有f 1 f 2 0 所以 a 4 1 a 0 即a a 3 0 所以0 a 3 c ***训练2 解析答案 a 1 3 b 0 3 c 0 2 d 0 1 解析答案 观察图象可知 若方程f x a 0有三个不同的实数根 则函数y f x 的图象与直线y a有3个不同的交点 此时需满足0 a 1 故选d 答案d 解析画出函数f x 的图象如图所示 例5已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 解方法一设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 方法二函数图象大致如图 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 2 a 1 故实数a的取值范围是 2 1 题型三二次函数的零点问题 解析答案 思维升华 思维升华 解决与二次函数有关的零点问题 1 可利用一元二次方程的求根公式 2 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 3 利用二次函数的图象列不等式组 若关于x的方程x2 ax 4 0在区间 2 4 上有实数根 则实数a的取值范围是 a 3 b 3 0 c 0 d 0 3 解析如果方程有实数根 注意到两个根之积为 4 0 可知两根必定一正一负 因此在 2 4 上有且只有一个实数根 设f x x2 ax 4 则必有f 2 f 4 0 所以2a 12 4a 0 即a 3 0 故选b b ***训练3 解析答案 返回 易错警示系列 易错分析得出当x 0时的零点个数后 容易忽略条件 定义在r上的奇函数 导致漏掉x 0时和x 0时的情况 典例定义在r上的奇函数f x 满足 当x 0时 f x 2016x log2016x 则在r上函数f x 的零点个数为 易错警示系列 3 忽视定义域导致零点个数错误 温馨提醒 解析答案 返回 易错分析 可知它们只有一个交点 所以当x 0时函数只有一个零点 由于函数为奇函数 所以当x 0时 也有一个零点 又当x 0时y 0 所以共有三个零点 答案3 温馨提醒 温馨提醒 1 讨论x 0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定 2 函数的定义域是讨论函数其他性质的基础 要给予充分重视 返回 思想方法感悟提高 1 函数零点的判定常用的方法有 1 零点存在性定理 2 数形结合 函数y f x g x 的零点 就是函数y f x 和y g x 图象交点的横坐标 3 解方程 2 二次函数的零点可利用求根公式 判别式 根与系数的关系或结合函数图象列不等式 组 3 利用函数零点求参数范围的常用方法 直接法 分离参数法 数形结合法 方法与技巧 1 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件 而不是必要条件 判断零点个数还要根据函数的单调性 对称性或结合函数图象 2 判断零点个数要注意函数的定义域 不要漏解 画图时要尽量准确 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 1 2 与 2 3 解析答案 f x 在 2 3 内存在一个零点 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以f x 0 故函数f x 在 1 2 上没有零点 2 已知三个函数f x 2x x g x x 2 h x log2x x的零点依次为a b c 则 a a b cb a c bc b a cd c a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 f 0 1 0 且f x 为r上的递增函数 故f x 2x x的零点a 1 0 g 2 0 g x 的零点b 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 且h x 为 0 上的增函数 方法二由f x 0得2x x 由h x 0得log2x x作出函数y 2x y log2x和y x的图象 如图 由图象易知a 0 0 c 1 而b 2 故a c b 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析当x 1时 由f x 2x 1 0 解得x 0 又因为x 1 所以此时方程无解 综上函数f x 的零点只有0 故选d d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 方程 x2 2x a2 1 a 0 的解的个数是 a 1b 2c 3d 4解析 数形结合法 a 0 a2 1 1 而y x2 2x 的图象如图 y x2 2x 的图象与y a2 1的图象总有两个交点 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 a 1 b 0 c 1 0 d 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 当x 0时 f x ex a 此时函数f x ex a在 0 上有且仅有一个零点 等价转化为方程ex a在 0 上有且仅有一个实根 而函数y ex在 0 上的值域为 0 1 所以0 a 1 解得 1 a 0 故选d 答案d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知函数f x x2 x a a 0 在区间 0 1 上有零点 则a的取值范围为 解析 a x2 x在 0 1 上有解 2 0 函数y x2 x x 0 1 的值域为 0 2 0 a 2 2 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af 2x 0的解集是 解析 f x x2 ax b的两个零点是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的两根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 解析答案 由于函数g x f x m有3个零点 结合图象得 0 m 1 即m 0 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故f x 在 0 1 上是减函数 而在 1 上是增函数 由0 a b且f a f b 得0 a 1 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 若方程f x m有两个不相等的正根 求m的取值范围 解由函数f x 的图象可知 当0 m 1时 方程f x m有两个不相等的正根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 关于x的二次方程x2 m 1 x 1 0在区间 0 2 上有解 求实数m的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解方法一设f x x2 m 1 x 1 x 0 2 若f x 0在区间 0 2 上有一解 f 0 1 0 则应有f 2 0 又 f 2 22 m 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由 可知m的取值范围是 1 方法二显然x 0不是方程x2 m 1 x 1 0的解 1 m 2 m 1 故m的取值范围是 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析当x 0时 x f x m 即x 1 m 解得m 1 即实数m的取值范围是 1 2 故选d d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 函数f x 3x 7 lnx的零点位于区间 n n 1 n n 内 则n 解析由于ln21 所以f 3 0 所以函数f x 的零点位于区间 2 3 内 故n 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析函数g x f x k有两个零点 即f x k 0有两个解 即y f x 与y k的图象有两个交点 分k 0和k1或k 0时 没有交点 故当0 k 1时满足题意 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 2015 湖南 若函数f x 2x 2 b有两个零点 则实数b的取值范围是 解析由f x 2x 2 b 0 得 2x 2 b 在同一平面直角坐标系中画出y 2x 2 与y b的图象 如图所示 则当0 b 2时 两函数图象有两个交点 从而函数f

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