同济第六版高等数学教案word版第02章 导数与微分 第二章导数与微分教学目的 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 2/1导数概念 一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动/时刻t质点的坐标为s/s是t的函数/s=f(t)/求动点在时刻t0的速度/考虑比值0000)()(t ttf tft tss?=?/这个比值可认为是动点在时间间隔t?t0内的平均速度/如果时间间隔选较短/这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度/但这样做是不精确的/更确地应当这样/令t?t00/取比值00)()(t ttf tf?的极限/如果这个极限存在/设为v/即00)()(lim0t ttf tfvt t?=/这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度/2切线问题设有曲线C及C上的一点M/在点M外另取C上一点N/作割线MN/当点N沿曲线C趋于点M时/如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT/直线就称为曲线有点处的切线/设曲线C就是函数y=f(x)的图形/现在要确定曲线在点M(x0/y0)(y0=f(x0)处的切线/只要定出切线的斜率就行了/为此/在点M外另取C上一点N(x/y)/于是割线MN的斜率为0000)()(tanx xx f x fx xy y?=?=?/其中?为割线MN的倾角/当点N沿曲线C趋于点M时/xx0/如果当x0时/上式的极限存在/设为k/即00)()(lim0x xx f x fkx x?=存在/则此极限k是割线斜率的极限/也就是切线的斜率/这里k=tan/其中是切线MT的倾角/于是/通过点M(x0/f(x0)且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线/ 二、导数的定义1/函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出/非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限/00)()(lim0x xx f x fx x?/令x=x?x0/则y=f(x0+x)?f(x0)=f(x)?f(x0)/xx0相当于x0/于是00)()(lim0x xx f x fx x?成为xyx0lim或xx f x x fx?+)()(lim000/定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义/当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内)时/相应地函数y取得增量y=f(x0+x)?f(x0)/如果y与x之比当x0时的极限存在/则称函数y=f(x)在点x0处可导/并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数/记为0|x xy=/即xx f x x fxyx fx x?+=)()(lim lim)(00000/也可记为0|x xy=/0x x dxdy=或0)(x x dxx df=/函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在/导数的定义式也可取不同的形式/常见的有hx fh xfx fh)()(lim)(0000?+=/000)()(lim)(0x xxf xfx fx x?=/在实际中/需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题/在数学上就是所谓函数的变化率问题/导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述/如果极限xxf x xfx?+)()(lim000不存在/就说函数y=f(x)在点x0处不可导/如果不可导的原因是由于=?+xxf x xfx)()(lim000/也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大/如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导/就称函数f(x)在开区间I内可导/这时/对于任一xI/都对应着f(x)的一个确定的导数值/这样就构成了一个新的函数/这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数/记作y/)(xf/dxdy/或dxx df)(/导函数的定义式/xxf x xfyx?+=)()(lim0=hx fh xfh)()(lim0?+/f(x0)与f(x)之间的关系/函数f(x)在点x0处的导数f(x)就是导函数f(x)在点x=x0处的函数值/即0)()(0x xxfxf=/导函数f(x)简称导数/而f(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f(x)在x0处的值/左右导数/所列极限存在/则定义f(x)在0x的左导数/hx fh xfx fh)()(lim)(0000?+=?/f(x)在0x的右导数/hx fh xfx fh)()(lim)(0000?+=+/如果极限hx fh xfh)()(lim000?+?存在/则称此极限值为函数在x0的左导数/如果极限hx fh xfh)()(lim000?+存在/则称此极限值为函数在x0的右导数/导数与左右导数的关系/A xf=)(0?A xfxf=+?)()(00/2求导数举例例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数/解/hx fh xfx fh)()(lim)(0?+=0lim0=?=hC Ch/即(C)=0/例2/求xxf1)(=的导数/解/hx h xhx fh xfx fhh11lim)()(lim)(00?+=?+=xx)(1lim)(limx x h x x h x hhhh?=+?=+?=/例3/求x xf=)(的导数/解/hx h xhx fh xfx fhh?+=?+=00lim)()(lim)(x xh x xh x hhhh211lim)(lim00=+=+=/例2求函数f(x)=x n(n为正整数)在x=a处的导数/解/f(a)a xafxfa x?=)()(lima xa xn na x?=lima x=lim(x n?1+ax n?2+?+a n?1)=na n?1/把以上结果中的a换成x得f(x)=nx n?1/即(x n)=nx n?1/(C)=0/21)1(x x?=/xx21)(=/1)(?=x x/更一般地/有(x)=x?1/其中为常数/例3求函数f(x)=sin x的导数/解/f(x)hx fh xfh)()(lim0?+=hx h xhsin)sin(lim0?+=2sin)2cos(21lim0h hxhh+?=xhhhxhcos22sin)2cos(lim0=?+=/即(sin x)=cos x/用类似的方法/可求得(cos x)=?sin x/例4求函数f(x)=a x(a0/a1)的导数/解/f(x)hx fh xfh)()(lim0?+=ha axh xh?=+0lim haahhx1lim0?=t ah=?1令)1(loglim0ttaatx+a aeaxaxlnlog1=/特别地有(e x)=e x/例5求函数f(x)=log a x(a0/a1)的导数/解/hx h xhx fh xfx fa ah hlog)(loglim)()(lim)(00?+=?+=hxahahah xhx xhhxx xh xh)1(log lim1)1(log lim1)(log1lim000+=+=+=a xexaln1log1=/解/hx h xx fa ahlog)(loglim)(0?+=)1(log1lim0xhhah+=hxah xhx)1(log lim10+=a xexaln1log1=/即a xxaln1)(log=//特殊地xx1)(ln=/a xxaln1)(log=/xx1)(ln=/3单侧导数/极限hx fh xfh)()(lim0?+存在的充分必要条件是hx fh xfh)()(lim0?+?及hx fh xfh)()(lim0?+都存在且相等/f(x)在0x处的左导数/hx fh xfx fh)()(lim)(00?+=?/f(x)在0x处的右导数/hx fh xfx fh)()(lim)(00?+=+/导数与左右导数的关系/函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f?(x0)和右导数f+(x0)都存在且相等/如果函数f(x)在开区间(a/b)内可导/且右导数f+(a)和左导数f?(b)都存在/就说f(x)有闭区间a/b上可导/例6求函数f(x)=|x|在x=0处的导数/解/1|lim)0()0(lim)0(00?=?+=?hhhf hffh h/1|lim)0()0(lim)0(00=?+=+hhhf hffh h/因为f? (0)f+ (0)/所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导/ 四、导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0/f(x0)处的切线的斜率/即f(x0)=tan/其中是切线的倾角/如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大/这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置/即曲线y=f(x)在点M(x0/f(x0)处具有垂直于x轴的切线x=x0//由直线的点斜式方程/可知曲线y=f(x)在点M(x0/y0)处的切线方程为y?y0=f(x0)(x?x0)/过切点M(x0/y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f(x0)0/法线的斜率为)(10xf?/从而法线方程为)()(1000x xxfy y?=?/例8/求等边双曲线xy1=在点)2/21(处的切线的斜率/并写出在该点处的切线方程和法线方程/解/21xy?=/所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121?=?=xxk/41112=?=kk/所求切线方程为)21(42?=?x y/即4x+y?4=0/所求法线方程为)21(412?=?x y/即2x?8y+15=0/例9求曲线x x y=的通过点(0/?4)的切线方程/解设切点的横坐标为x0/则切线的斜率为0212302323)()(0x x x xfx x=/于是所求切线的方程可设为)(230000x x x x x y?=?/根据题目要求/点(0/?4)在切线上/因此)0(2340000x x x x?=?/解之得x0=4/于是所求切线的方程为)4(42344?=?x y/即3x?y?4=0/ 四、函数的可导性与连续性的关系设函数y=f(x)在点x0处可导/即)(lim00x fxyx=存在/则00)(lim lim lim lim00000=?=?=?=xfxxyxxyyx x x x/这就是说/函数y=f(x)在点x0处是连续的/所以/如果函数y=f(x)在点x处可导/则函数在该点必连续/另一方面/一个函数在某点连续却不一定在该点处可导/例7函数3)(x xf=在区间(?/+)内连续/但在点x=0处不可导/这是因为函数在点x=0处导数为无穷大hf hfh)0()0(lim0?+=?=hhh0lim30/2/2函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则理定理1如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数/那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数/并且u(x)v(x)=u(x)v(x)/u(x)?v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)/)()()()()()()(2x vx v x u x v x ux vx u?=?/x证明 (1)hx v x u h x v h x ux v x uh)()()()(lim)()(0?+=?+?+=hx v h x vhx u h x uh)()()()(lim0=u(x)v(x)/法则 (1)可简单地表示为(uv)=uv/ (2)hx v x uh x v h x ux v x uh)()()()(lim)()(0?+=?)()()()()()()()(1lim0x v xuh xv xuh xvxuh xv h x uh h?+?+=?+?+=hx v hx vx uhx vhx uhxuh)()()()()()(lim0hx v hx vx uhxvhx uhxuh hh)()(lim)()(lim)()(lim000?+?+?+=u(x)v(x)+u(x)v(x)/其中0limhv(x+h)=v(x)是由于v(x)存在/故v(x)在点x连续/法则 (2)可简单地表示为(uv)=uv+uv/ (3)hxvhxvh xvxu xvhxuhx vx uh xvhxux vxuhh)()()()()()(lim)()()()(lim)()(00+?+=?+=?hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0+?+?+=)()()()()()()()(lim0xvhxvhx vhxvxuxvhxuhxuh+?+?+=)()()()()(2xvxvxuxvxu?=/法则 (3)可简单地表示为2)(vv u v uvu?=/(uv)=uv/(uv)=uv+uv/2)(vv u v uvu?=/定理1中的法则 (1)、 (2)可推广到任意有限个可导函数的情形/例如/设u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可导/则有(u+v?w)=u+v?w/(uvw)=(uv)w=(uv)w+(uv)w=(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw/即(uvw)=uvw+uvw+uvw/在法则 (2)中/如果v=C(C为常数)/则有(Cu)=Cu/例1y=2x3?5x2+3x?7/求y解/y=(2x3?5x2+3x?7)=(2x3)?(5x2)+(3x)? (7)=2(x3)?5(x2)+3(x)=2?3x2?5?2x+3=6x2?10x+3/例2/2sin cos4)(3?+=x x xf/求f(x)及)2(f/解解/x x x x xfsin43)2(sin)cos4()()(23?=?+=/443)2(2?=f/例3y=e x(sin x+cos x)/求y/解/y=(e x)(sin x+cos x)+e x(sin x+cos x)=e x(sin x+cos x)+e x(cos x?sin x)=2e xcos x/例4y=tan x/求y/解解/xx x x xxxx y2cos)(cos sin cos)(sin)cossin()(tan?=xx xx x22222seos1cossin cos=+=/即(tan x)=sec2x/例5y=sec x/求y/解/xx xxx y2cos)(cos1cos)1()cos1()(sec?=xx2cossin=sec xtan x/即(sec x)=sec xtan x/用类似方法/还可求得余切函数及余割函数的导数公式/(cot x)=?csc2x/(csc x)=?csc xcot x/ 二、反函数的求导法则定理2如果函数x=f(y)在某区间I y内单调、可导且f(y)0/那么它的反函数y=f?1(x)在对应区间I x=x|x=f(y)/yI y内也可导/并且)(1)(1y fxf=?/或dydx dxdy1=/简要证明/由于x=f(y)在I y内单调、可导(从而连续)/所以x=f(y)的反函数y=f?1(x)存在/且f?1(x)在I x内也单调、连续/任取xI x/给x以增量x(x0/x+xI x)/由y=f?1(x)的单调性可知y=f?1(x+x)?f?1(x)0/于是yx xy=1/因为y=f?1(x)连续/故0lim0=yx从而)(11lim lim)(001y fyx xyx fy x=?/上述结论可简单地说成/反函数的导数等于直接函数导数的倒数/例6设x=sin y/2/2?y为直接函数/则y=arcsin x是它的反函数/函数x=sin y在开区间)2/2(?内单调、可导/且(sin y)=cos y0/因此/由反函数的求导法则/在对应区间I x=(?1/1)内有2211sin11cos1)(sin1)(arcsinx yy yx?=?=/类似地有/211)(arosxx?=/例7设x=tan y/)2/2(?y为直接函数/则y=arctan x是它的反函数/函数x=tan y在区间)2/2(?内单调、可导/且(tan y)=sec2y0/因此/由反函数的求导法则/在对应区间I x=(?/+)内有22211tan11sec1)(tan1)(arctanx yy yx+=+=/类似地有/211)cot arc(xx+?=/例8设x=a y(a0/a1)为直接函数/则y=log a x是它的反函数/函数x=a y在区间I y=(?/+)内单调、可导/且(a y)=a yln a0/因此/由反函数的求导法则/在对应区间I x=(0/+)内有axaaaxy yaln1ln1) (1)(log=/到目前为止/所基本初等函数的导数我们都求出来了/那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、3xe、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则理定理3如果u=g(x)在点x可导/函数y=f(u)在点u=g(x)可导/则复合函数y=fg(x)在点x可导/且其导数为)()(x gu fdxdy?=或dxdududydxdy?=/证明/当u=g(x)在x的某邻域内为常数时/y=f?(x)也是常数/此时导数为零/结论自然成立/当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时/u0/此时有xx gx x gx gx x gx gfx x gfxx gfx xgfxy?+?+?+=?+=)()()()()()()()(xx gx xguu fu uf?+?+=)()()()(/xx gx xguu fu ufxydxdyx ux?+?+=)()(lim)()(lim lim000=f(u)?g(x)/简要证明/xuuyxydxdyx x?=00lim lim)()(lim lim00xgu fxuuyxu=?=/例93xe y=/求dxdy/解函数3xe y=可看作是由y=e u/u=x3复合而成的/因此32233x ue x x edxdududydxdy=?=?=/例10212sinxxy+=/求dxdy/解函数212sinxxy+=是由y=sin u/212xxu+=复合而成的/因此2222222212cos)1()1 (2)1()2()1(2cosxxxxxx xudxdududydxdy+?+?=+?+?=?=/对复合函数的导数比较熟练后/就不必再写出中间变量/例11lnsin x/求dxdy/解/)(sinsin1)sin(ln?=xxxdxdyx xxcotcossin1=?=/例123221x y?=/求dxdy/解/)21()21(31)21(2322312?=?=?xxxdxdy322)21(34xx?=/复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形/例如/设y=f(u)/u=?(v)/v=(x)/则dxdvdvdududydxdududydxdy?=?=/例13y=lncos(e x)/求dxdy/解/)cos()cos(1)cos(ln?=xxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxx xxe e eee?=?=/例14xe y1sin=/求dxdy/解/)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin?=?=x xexe edxdyx xx xexx1cos11sin2?=/例15设x0/证明幂函数的导数公式(x)=x?1/解因为x=(e ln x)=eln x/所以(x)=(eln x)=eln x?(ln x)=eln x?x?1=x?1/ 四、基本求导法则与导数公式1基本初等函数的导数/ (1)(C)=0/ (2)(x)=x?1/ (3)(sin x)=cos x/ (4)(cos x)=?sin x/ (5)(tan x)=sec2x/ (6)(cot x)=?csc2x/ (7)(sec x)=sec x?tan x/ (8)(csc x)=?csc x?cot x/ (9)(ax)=axln a/ (10)(e x)=e x/ (11)a xxaln1)(log=/ (12)xx1)(ln=/ (13)211)(arcsinxx?=/ (14)211)(arosxx?=/ (15)211)(arctanxx+=/ (16)211)cot arc(xx+?=/2函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x)/v=v(x)都可导/则 (1)(uv)=uv/ (2)(C u)=C u/ (3)(uv)=u?v+u?v/ (4)2)(vv uv uvu?=/3反函数的求导法则设x=f(y)在区间I y内单调、可导且f(y)0/则它的反函数y=f?1(x)在I x=f(I y)内也可导/并且)(1)(1y fxf=?/或dydx dxdy1=/4复合函数的求导法则设y=f(x)/而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导/则复合函数y=fg(x)的导数为dxdududydxdy?=或y(x)=f(u)?g(x)/例例16/求双曲正弦sh x的导数/解/因为)(21sh xxee x?=/所以x eeee xx xxxch) (21) (21)sh(=+=?=?/即(sh x)=ch x/类似地/有(ch x)=sh x/例例17/求双曲正切th x的导数/解/因为xxxch shth=/所以xx xx222chsh ch)(th?=x2ch1=/例例18/求反双曲正弦arsh x的导数/解/因为)1ln(arsh2xxx+=/所以22211)11 (11)arsh(x xxx xx+=+?+=/由)1ln(arch2?+=xxx/可得11)arch(2?=xx/由xxx?+=11ln21arth/可得211)arth(xx?=/类似地可得11)arch(2?=xx/211)arth(xx?=/例例19y=sin nx?sin n x(n为常数)/求y/解/y=(sin nx)sin n x+sin nx?(sin nx)=n cosnx?sin nx+sin nx?n?sin n?1x?(sin x)=ncosnx?sin nx+n sinn?1x?cos x=n sinn?1x?sin(n+1)x/2/3高阶导数一般地/函数y=f(x)的导数y=f(x)仍然是x的函数/我们把y=f(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数/记作y、f(x)或22dxy d/即y=(y)/f(x)=f(x)/)(22dxdydxddxy d=/相应地/把y=f(x)的导数f(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数/类似地/二阶导数的导数/叫做三阶导数/三阶导数的导数叫做四阶导数/?/一般地/(n?1)阶导数的导数叫做n阶导数/分别记作y/y (4)/?/y(n)或33dxy d/44dxy d/?/nndxy d/函数f(x)具有n阶导数/也常说成函数f(x)为n阶可导/如果函数f(x)在点x处具有n阶导数/那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数/二阶及二阶以上的导数统称高阶导数/y称为一阶导数/y/y/y (4)/?/y(n)都称为高阶导数/例1y=ax+b/求y/解/y=a/y=0/例2s=sint/求s/解/s=cost/s=?2sint/例3证明/函数22xx y?=满足关系式y3y+1=0/证明/因为22212222x xxx xxy?=?=/22222222)1(2x xx xxxxxy?=)2()2()1(22222xxx xxxx?+?=32321)2(1yx x?=?=/所以y3y+1=0/例4求函数y=e x的n阶导数/解/y=e x/y=e x/y=e x/y (4)=e x/一般地/可得y(n)=e x/即(e x)(n)=e x/例5求正弦函数与余弦函数的n阶导数/解/y=sin x/)2sin(cos+=xx y/)22sin()22sin()2cos(?+=+=+=xxx y/)23sin()222sin()22cos(?+=+?+=?+=xxxy/)24sin()23cos()4(?+=?+=xxy/一般地/可得)2sin()(?+=nxyn/即)2sin()(sin)(?+=nxxn/用类似方法/可得)2cos()(cos)(?+=nxxn/例6求对函数ln(1+x)的n阶导数解解/y=ln(1+x)/y=(1+x)?1/y=?(1+x)?2/y=(?1)(?2)(1+x)?3/y (4)=(?1)(?2)(?3)(1+x)?4/一般地/可得y(n)=(?1)(?2)?(?n+1)(1+x)?nnnxn)1()!1()1(1+?=?/即nn nxnx)1()!1()1()1ln (1)(+?=+?/例6求幂函数y=x(是任意常数)的n阶导数公式/解/y=x?1/y=(?1)x?2/y=(?1)(?2)x?3/y (4)=(?1)(?2)(?3)x?4/一般地/可得y(n)=(?1)(?2)?(?n+1)x?n/即(x)(n)=(?1)(?2)?(?n+1)x?n/当=n时/得到(x n)(n)=(?1)(?2)?3?2?1=n!/而(x n)(n+1)=0/如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处具有n阶导数/那么显然函数u(x)v(x)也在点x处具有n阶导数/且(uv)(n)=u(n)+v(n)/(uv)=uv+uv(uv)=uv+2uv+uv/(uv)=uv+3uv+3uv+uv/用数学归纳法可以证明?=?=nkk kn knnvu Cuv0)()()()(/这一公式称为莱布尼茨公式/例8y=x2e2x/求y (20)/解/设u=e2x/v=x2/则(u)(k)=2k e2x(k=1/2/?/20)/v=2x/v=2/(v)(k)=0(k=3/4/?/20)/代入莱布尼茨公式/得y (20)=(uv) (20)=u (20)?v+C201u (19)?v+C202u (18)?v=220e2x?x2+20?219e2x?2x!21920?+218e2x?2=220e2x(x2+20x+95)/2/4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 一、隐函数的导数显函数/形如y=f(x)的函数称为显函数/例如y=sin x/y=ln x+e x/隐函数/由方程F(x/y)=0所确定的函数称为隐函数/例如/方程x+y3?1=0确定的隐函数为y31xy?=/如果在方程F(x/y)=0中/当x取某区间内的任一值时/相应地总有满足这方程的唯一的y值存在/那么就说方程F(x/y)=0在该区间内确定了一个隐函数/把一个隐函数化成显函数/叫做隐函数的显化/隐函数的显化有时是有困难的/甚至是不可能的/但在实际问题中/有时需要计算隐函数的导数/因此/我们希望有一种方法/不管隐函数能否显化/都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来/例例1求由方程e y+xy?e=0所确定的隐函数y的导数/解/把方程两边的每一项对x求导数得(e y)+(xy)?(e)= (0)/即e y?y+y+xy=0/从而ye xyy+?=(x+e y0)/例例2求由方程y5+2y?x?3x7=0所确定的隐函数y=f(x)在x=0处的导数y|x=0/解/把方程两边分别对x求导数得5y?y+2y?1?21x6=0/由此得2521146+=yxy/因为当x=0时/从原方程得y=0/所以21|25211|0460=+=x xyxy/例例3/求椭圆191622=+y x在)323/2(处的切线方程/解/把椭圆方程的两边分别对x求导/得0928=?+y yx/从而yxy169?=/当x=2时/323=y/代入上式得所求切线的斜率43|2?=xy k/所求的切线方程为)2(43323?=?xy/即03843=?+y x/解/把椭圆方程的两边分别对x求导/得0928=?+yyx/将x=2/323=y/代入上式得03141=?+y/于是k=y|x=243?=/所求的切线方程为)2(43323?=?xy/即03843=?+y x/例例4求由方程0sin21=+?yyx所确定的隐函数y的二阶导数/解/方程两边对x求导/得0cos211=?+?dxdyydxdy/于是y dxdycos22?=/上式两边再对x求导/得3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxy d?=?=/对数求导法/这种方法是先在y=f(x)的两边取对数/然后再求出y的导数/设y=f(x)/两边取对数/得ln y=ln f(x)/两边对x求导/得)(ln1=xfyy/y=f(x)?ln f(x)/对数求导法适用于求幂指函数y=u(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数/例5求y=x sin x(x0)的导数/解法一/两边取对数/得ln y=sin x?ln x/上式两边对x求导/得xxxx yy1sin lncos1?+?=/于是)1sin ln(cosxx xxyy?+?=)sinln(cossinxxx x xx+?=/解法二/这种幂指函数的导数也可按下面的方法求/y=x sin x=e sin xln x/)sinln(cos)ln(sinsin lnsinxxx xxxxeyxxx+?=?=?/例例6/求函数)4)(3()2)(1(?=xxxxy的导数/解/先在两边取对数(假定x4)/得ln y21=ln(x?1)+ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)/上式两边对x求导/得)41312111(211?+?=xxx xyy/于是)41312111(2?+?=xxx xyy/当x1时/)4)(3()2)(1(xxxxy?=/当24/x1/2 二、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程?=)()(t yt x?确定的/则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数/在实际问题中/需要计算由参数方程所确定的函数的导数/但从参数方程中消去参数t有时会有困难/因此/我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数/设x=?(t)具有单调连续反函数t=?1(x)/且此反函数能与函数y=(t)构成复合函数y=?1(x)/若x=?(t)和y=(t)都可导/则)()(1ttdtdx dtdydxdtdtdydxdy?=?=?=/即)()(ttdxdy?=或dtdxdtdydxdy=/若x=?(t)和y=(t)都可导/则)()(ttdxdy?=/例例7/求椭圆?=t byt axsincos在相应于4=t点处的切线方程/解/tabt atbt atbdxdycotsincos)cos()sin(?=?=/所求切线的斜率为abdxdyt?=4/切点的坐标为224cos0aax=/224sin0b by=/切线方程为)22(22a xabby?=?/即bx+ay2?ab=0/例例8抛射体运动轨迹的参数方程为?=22121gt tv ytvx/求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向/y=v2t?g t2解/先求速度的大小/速度的水平分量与铅直分量分别为x(t)=v1/y(t)=v2?gt/所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为22)()(t ytxv+=2221)(gt vv?+=/再求速度的方向/设是切线的倾角/则轨道的切线方向为12)()(tanvgt vt xt ydxdy?=/已知x=?(t)/y=(t)/如何求二阶导数y?由x=?(t)/)()(ttdxdy?=/dxdtttdtddxdydxddxy d)()()(22?=) (1)()()()()(2t tt t tt?=)()()()()(3tt ttt?=/例例9计算由摆线的参数方程?=?=)cos1()sin(t ayt t ax所确定的函数y=f(x)的二阶导数/解/)()(txtydxdy=)cos1(sin)sin()cos1(t at at t ata?=?=2cotcos1sin ttt=?=(t2n/n为整数)/dxdt tdtddxdydxddxyd?=)2(cot) (2222)cos1 (1)cos1(12sin21tatat?=?=(t2n/n为整数)/ 三、相关变化率设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数/而变量x与y间存在某种关系/从而变化率dtdx与dtdy间也存在一定关系/这两个相互依赖的变化率称为相关变化率/相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系/以便从其中一个变化率求出另一个变化率/例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升/其速度为140m/min(分)/当气球高度为500m时/观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t(秒)后/其高度为h/观察员视线的仰角为/则500tanh=/其中及h都是时间t的函数/上式两边对t求导/得dtdhdtd?=?5001sec2/已知140=dtdh(米/秒)/又当h=500(米)时/tan=1/sec2=2/代入上式得14050012?=dtd/所以14/050070=dtd(弧度/秒)/即观察员视线的仰角增加率是每秒0/14弧度/2/5函数的微分 一、微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成/一块正方形金属薄片受温度变化的影响/其边长由x0变到x0+x/问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x/面积为A/则A是x的函数/A=x2/金属薄片的面积改变量为A=(x0+x)2?(x0)2=2x0x+(x)2/几何意义/2x0x表示两个长为x0宽为x的长方形面积/(x)2表示边长为x的正方形的面积/数学意义/当x0时/(x)2是比x高阶的无穷小

温馨提示:
1. 文档收藏网仅展示《同济第六版教案word版第02章 导数与微分》的部分公开内容，版权归原著者或相关公司所有。
2. 文档内容来源于互联网免费公开的渠道，若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私，请通知我们立即删除。
3. 当前页面地址：https://doc.bogoing.com/doc/83e546fed87e2215.html 复制内容请保留相关链接。