还原数学教学的本来面目高一第一学期***的运算教学设计一、教学设计1/前端分析1/1教材分析 ***的运算是学生进入高中学习的第一种运算，较初中学习的数式的运算更抽象，也不同于之后将学习的复数的运算、三角的运算及向量的运算等。同时***作为一种数学语言，尤其是***的关系与运算贯穿于高中数学学习的全过程。基于学生已有的认知基础，通过创设问题情境，让学生在探究中经历知识的“再创造”过程，帮助学生实现思维的跨越，知其然，更知其所以然，为后续的高中数学学习奠定扎实的基础。1/2学情分析在高中阶段，学生正处在形成连贯逻辑思维的时期，***这部分内容为培养学生清晰而有条理地表达自己的数学思想、倾听别人的意见，学会正确使用数学符号、数学语言提供了平台1。上海市宜川中学是市实验性示范性高中，学生的数学基础与能力相对较好。基于以往的教学实践，除个别学生在表达***运算的结果时，没有写成***的形式之外，对绝大多数学生来说，借助文氏图，理解“交、并、补”运算的意义，完成课本练习中***的基本运算，应该是没有太大障碍的。1/3课标分析 课程标准对“***的运算”学习要求及活动建议指出，掌握***的“交、并、补”运算，知道有关的基本运算性质（第71页）。在使用***语言表示有关数学对象的过程中，发展运用数学语言进行表达、交流的能力。而“掌握”属理解探究性水平，即在明了知识来龙去脉的基础上，能把握知识的本质及其内容（第30页）。同时在课程实施方面，倡导对内容的“问题化”***，将内容转化为符合学生心理特点的问题或问题情境，激发兴趣，促进探究；对内容的“操作化”***，将“做、想、讲”有机结合，内化所学内容；以及对内容的“结构化”***，加强模块或主题的整合，沟通章节或单元内容间的联系，形成良好认知结构（第18页）2。2/问题提出著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来”，现行教材因编排需要，常常隐去了知识的来龙去脉。学生学习数学知识，如果只注重结果，忽视知识的发生过程，学生的学习方式注定以记忆为主，失去了感悟的机会和经历，学生很难真正品味到数学的原汁原味，离数学学科之本越来越远，背离了数学教学的宗旨。“***的运算”这一知识单元，教材分三小节讲述交、并、补集三种运算的，若按教材的编排分别学习这三种运算，学生就会有“***的交、并、补运算是怎样想到的？它们之间的内在逻辑关系如何？两个***的基本运算会有几种？”等疑问，不利于学生自然的、系统的掌握知识，失去了一次感悟连贯逻辑思维的机会。在一些学习资料中，经常将子集、交集、交集和补集放在一起，有的都称为***的关系，有的不加界定，混在一道进行罗列。事实上，子集属于***的关系范畴，同时两个***之间不仅有包含关系，包含关系只是两个***关系中的一种，抛开对***关系的逻辑划分，只讲包含关系，不利于学生的认知；并集、交集和补集是***的运算，但三者从逻辑划分角度出发，并不是一个层面的，事实上两个***之间还存在着其它的基本运算，比如差运算：，而补运算不过是差运算的一个特例，既当被减***为全集时的情形，同时课本中为什么不讲差运算，等等问题，如果不一一理清楚，学生对***的关系和运算知识的理解逻辑是混乱的，不仅不利于知识的建构，更不利于认知力的提升，“在数学知识学习的过程中，学会数学地思考”的育人目标无法落实。基于上述分析，在高中数学学习的起始阶段，从“教好数学的内涵：以数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，构建前后一致，逻辑连贯的学习过程”3出发，笔者试图厘清其间的逻辑顺序和结构，构建逻辑连贯的探究学习过程，让***运算的知识能基于学生已有的认知和经验，自然、顺畅地生成，在这样的过程中，发展学生的认知性思维，学会数学地思考，从而实现数学育人的目标，还原数学教学的本来面目。按课标要求，***的运算单元安排3课时，我尝试对本单元内容进行重组，集中利用第1课时，引导学生探究***的并、交、补运算的内涵，第2和第3 课时，安排***运算的应用，相应的进行***运算的基本训练和综合训练。这样的安排，一方面有利于学生对***运算知识的逻辑建构，感悟数学研究的一般方法，同时为学生在***运算的应用过程中体验***次思维，感悟数学思想方法提供了时空条件。3/教学设计3/1 第1课时 ***运算的定义学习目标 1理解***运算的内涵；2经历***运算的生成过程，体会容斥、简约原理及类比思想；3通过***运算知识体系的自主建构及实际应用，感悟数学的魅力与价值。学习重点 ***运算的内涵学习难点 ***运算的外延及关联过程设计（一）复习回顾问题1两个***的关系有哪几种？ 两个***A、B的关系按公共元素的不同情形分为三种：（1）无公共元素；（2）***B的部分元素为公共元素；（3）***B的元素均为公共元素（包含关系）（见下图3）【设计说明】两个***的关系是分类问题，需明确分类的标准。借助两个圆的位置关系帮助思考，以***B中元素为公共元素的不同情形分类，得到两个***的三种关系。既是对上节内容的回顾，又是构成本节课学习***运算的逻辑线索。（二）实例引入 思考：今天是2012年9月5日，能否用日期中的三个数字：2012，9，5来命题？问题2在1/2/3/2012自然数中，既不能被9整除，也不能被5整除的数的个数？（图1）析记***，***和***，即求右图1***影部分元素的个数归结为***问题（数学化），解此题需***运算知识（板书课题）【设计说明】巧用开课时期引出问题，通过构造***，将实际问题建立数学模型，归结为***问题来解决，激发学生的学习兴趣，认识到***运算的实际意义与价值。（三）新课探究问题3两个***的运算有哪些？ （引入概念数学需要）1/***的关系与运算有何不同？ 比如，5与2比较大小，结果为，比较后仍然是原来两个数；但5与2运算后，结果产生了新数，分别称为和与积。通过类比数的大小关系及运算，弄清***的关系与运算的区别是否产生新的***2/***的运算有哪些？以三种情形中较一般的情形（2）来研究，由具有部分公共元素的***A、B，可产生三种新的简单***（如下图），猜想***可能有三种运算【设计说明】面对“***的运算有哪些？”这样的问题，一时难以入手，从哪里切入呢？面对新的问题，寻找与已有的知识和经验建立关联是人们常用的认知策略***的运算有两个关键词，即“***”和“运算”，关于***，前面刚学过的知识是***的关系，而关于运算，我们熟知的是数的运算，由此自然想到数的关系与运算与今天所学习的主题相关；两个数的关系主要是比较大小，两个数的运算有加减乘除四则运算，如此仍不能回答“***的运算有哪些？”这样的疑问。（山穷水尽疑无路时，可能恰是柳暗花明又一村）那么数的关系与运算有何异同呢？或许能为***的关系与运算指明方向，事实上数的大小关系比较后仍然是这两个数，但这两个数经运算后，通常会产生新的数（并赋予新的名称，比如和、差、积、商等）。（图2）对于两个***的关系，比较后仍然是这两个***，那么由这两个***可以产生哪些新的简单***，相应地就可能存在着几种***的运算，问题豁然开朗。先从具有一般意义的情形（2）出发，结合文氏图，很快发现由两个***A、B，大致可以产生三种新的简单***。会有个别同学认为右图2中的***也是产生的一种新***，通过与前面三种简单***比较发现，但它不是简单***，而是由两个简单***组成的，对应的应该是基本运算的综合。问题4请对***的三种运算命名与定义？1/（尝试定义）对情形（2），思考新***的元素有怎样的特征？并请你试着给这些运算命名：运算/关系无公共元素部分公共元素包含并交（差）(***影)补（图3）2/（完善定义）对情形（1）无公共元素和情形（3）包含关系给出相应定义【设计说明】***的核心要素是元素，从思考新的***元素的特征出发，尝试为三种***的运算命名和下定义，在小组合作的基础上，通过交流与教师点拨，比较顺利地给出了“并、交、差”三种运算的名称与定义；在尝试定义的基础上，进一步引导学生完善定义，对于情形（1）和（3）这两种特殊情况，给出相应的定义，培养思维的严谨性。3/（引申定义）回顾百以内数的加减法，思考我们是如何进行简算的？ 事实上，这里数字2就是98相对于一百的补数，借助补数实现了简算。全集的定义：如果***包括所研究对象中的全部元素，称***为全集。全集是相对的，也是人为约定的，会因为所研究的问题不同，可以进行不同的规定。补运算的定义：此时表示全集中不属于***B的元素，称为***B的补集，记为【设计说明】在回顾百以内数加法的简便运算的基础上，理解全集的意义（相当于***，它包含所要进行的百以内数的加减运算的所有数），进而通过类比“补数”的涵义，给出补集的概念，并指出当被减***为全集时的差运算就是补运算。问题5补运算与差运算有怎样的关系？教材中为什么没有定义“差”运算？（凝练定义）人们常常要问：，那么属于什么，结合文氏图思考；差运算可否用“并、交、补”运算来表示：【设计说明】通过上述分析，知道两个***之间存在“并、交、差”三种运算，而补运算是差运算的特例。在弄清了***运算的外延及内在逻辑关系后，学生的疑问聚焦在课本为什么没有定义差运算，而定义了补运算。在现实生活中常常关注不是***A的元素在哪里，可见补运算更具现实意义；另一方面由于差运算可用另外三种运算表示，按简约原理，差运算不必列出。（四）当堂检测问题6已知***（1）计算： ；= ；= （2）求***中既不是2的倍数，又不是3的倍数的元素个数【析】（1）略；（2）列式简算：【推广】一般地，记表示***A的元素个数，且已知全集、***B，则既不属于***A，又不属于***B的元素个数为：（被称为容斥原理）【应用】解决引入问题：【析】已知全集，且***和***，原问题即求全集中，既不属于***A，又不属于***B的元素个数，由容斥原理，得：【设计说明】问题6的（1）小题是利用学习的***运算知识直接解决问题，起到当堂检测的功能；通过（2）小题的解决，对结论加以推广，便得到了容斥原理，在此基础上，通过小组合作探究，解决了课前引入问题，既是对所学知识的应用，又达到了首尾呼应的效果，让学生感受数学的魅力与价值。（五）总结提升（1）运算的内涵：（学习路径）引入尝试完善引申凝练；（2）相关原理：容斥、简约、模型原理（六）课后思考问题7（1）自学课本例题1-6，完成课后练习1/3(1)(3)；（2）思考并解答：***，若，则= ； 若***，问是否正确，说明理由 3/2 第2和第3课时 ***运算的应用第2课时的设计要点：首先交流上节课所布置作业的完成情况；其次完成下列***的基本运算：已知***，和***， 完成下表中的运算，并填表： 交补并ABCDE【设计说明】第1课时定位为概念理解课，第2课时定位为技能习得课，主要内容是***运算的基本应用。首先是交流课本练习的达成情况，关注***的运算结果为***（表达规范）；其次完成表中所列的运算，一方面要注意识别描述法表示的不同***的意义，起到辨析的作用，另一方面通过这组问题的解答，在总结的基础上，形成***运算的步骤：1）识别（数集、点集等）；2）化简（数集用区间或列举法表示等）；3）运算（结合数轴）并得出结论，从而达到技能算法化的目标。第3课时定位为问题解决课，主要内容为***运算的综合应用。可根据学生群体的差异，选择适当的问题或题组而展开，比如，以各种形式的***、***的关系与运算的综合等问题为载体，让学生经历运用已有知识与经验解决问题的体验，初步感知分类讨论、函数与方程等数学思想，培养思维的严密性、灵活性，让学生受到***次思维的训练。4/自我反思4/1 数学课改的探索提高自身的学科知能笔者针对“***的运算”这一课题，先后于2009年9月、2012年9月和2014年12月，分别为华东师范大学数学系2009级本科生、上海市宜川中学全体数学教师及骨干教师，以及上海市金汇中学数学组全体教师开设了研讨课。以下是来自金汇中学的反馈：作为学校“做有思想的学科领导者”教师专业培训活动系列之一，我校邀请了上海市宜川中学副校长、数学特级教师李英老师在我校高一（5）班开设了一节***的运算教学示范课。由于是高一入学的开篇内容，许多老师带着好奇认真琢磨李英老师如何开展它的教学内容。整堂课用七个问题串联，充满了浓浓的数学味，听后让你还在细细品味其中。浅入深出，简约凝练，始终渗透“类比思想”，让学生好记易懂。通过***的运算知识体系的自主建构及实际应用，让学生和我们老师切身体会到了数学的魅力和价值。示范课后，李英老师的微报告让课堂更有数学“味”，通过几个具体案例，站在学科核心思想的高度，对如何进行教材处理、教学设计、问题探究等阐述他的教学心得，更让我校所有数学老师收获颇丰。他的“让新知识自然生成，让学生幸福地接受”的教学理念正是我们都在摸索和追求的数学价值之所在，为我们数学组建设和发展提供了很好的经验。（文章来源：徐汇区金汇中学校园新闻2014年12月18日）作为数学教师应根据课程标准的要求、学生的实际，对教材进行增减、重组，在不同层次思维递进的关键点为学生搭设好“脚手架”，帮助学生拾级而上；通过重组，为学生提供结构化的学习内容，从联系的角度理解知识成为教改的关键4。教师还应多思考“知识是如何发现的”、“方法是如何想到的”等具有本原性的问题，把数学知识的内在逻辑理清楚，再以符合学生认知规律的方式***教学，就可以把数学教得简单、清楚、明白3。4/2 数学育人的使命发展学生的学科素养日本数学家米山国藏说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使人***受益。”所有数学知识的发生发展都依赖数学思想，通过深刻挖掘，理解数学知识背后的数学思想，并将其传递给学生，具备数学思想的人，会用数学的眼睛看世界。数学教育史家史宁中在漫谈数学的思想中指出：“三种基本的数学思想是抽象、推理和模型”5。本节课将实际问题数学化，归结为***的运算问题，体现了模型思想；从具体***出发，通过分析***元素的特征，尝试为***的运算命名与定义，进而生成***运算的概念，以及由特殊到一般推导出容斥原理，并进而解决引入问题等，都体现了抽象思想；通过环环相扣的七个问题，串联成逻辑连贯的学习过程，体现了逻辑推理；而通过类比数的关系与运算，理解***的关系与运算，以及类比补数的意义，理解全集、补集的内涵等，则体现了合情推理。本节课***的运算概念的生成从如下几个维度展开：（必要性）为什么引入这个概念现实社会（外部）发展需要、数学自身（内部）发展需要；（合理性）为什么这样定义概念规定的合理性；（科学性）概念的定义是什么如何规定；（完整性）各种情形下的定义？包括反面理解定义；（辨析性）该概念与其他概念的关联区别与联系，及在概念体系中的地位等。让学生完整经历***运算的生成过程，建立起研究数学对象的结构，从而形成完整的认识。通过学习，学生会感悟到一般概念学习、研究的路径与方法。三、专家点评点评一：上海市数学特级教师、特级校长康士凯“单元统整教学设计”是李英老师多年来的一项教学实验，这项实验在帮助学生把握数学知识的脉络、领悟数学思想方法方面有较明显的效果。***的运算这份教案可以看出李英的“单元统整教学设计”的教学思路。作为一线教师能着眼于

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