第一部分考点研究 第三章函数 课时16二次函数的综合 重难点突破 二次函数与几何综合问题 难点 例1 2016陕西 如图 在平面直角坐标系中 点o为坐标原点 抛物线经过点m 1 3 和n 3 5 1 试判断该抛物线与x轴交点的情况 2 平移这条抛物线 使平移后的抛物线经过点a 2 0 且与y轴交于点b 同时满足以a o b为顶点的三角形是等腰直角三角形 请你写出平移过程 并说明理由 例1题图 1 思维教练 要求抛物线与x轴交点个数 可以联系到一元二次方程根的情况数 确定出函数解析式 令y 0 根据一元二次方程根的判别式 即可得出抛物线与x轴的交点情况 解 1 由题意 得 解得 抛物线的解析式为y x2 3x 5 对于方程x2 3x 5 0 b2 4ac 3 2 4 1 5 9 20 11 0 抛物线与x轴无交点 a b 5 3a 3b 5 5 a 1b 3 2 思维教练 要求平移过程 则先需要求得平移后的解析式 根据 aob是等腰直角三角形可得点b的坐标为 0 2 或 0 2 然后分两种情况 平移后的抛物线经过点a和点 平移后的抛物线经过点a和点 分别利用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式 通过对比平移前后抛物线的顶点坐标 即可得到平移过程 例1题解图 该抛物线顶点坐标为 而原抛物线顶点坐标为 将原抛物线先向左平移3个单位 再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线 当抛物线过点a 2 0 0 2 时 解得 平移后的抛物线解析式为 该抛物线顶点坐标为 而原抛物线顶点坐标为 将原抛物线先向左平移2个单位 再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线 例2 2016德州 已知 m n是一元二次方程的两个实数根 且 m n 抛物线的图象经过点a m 0 b 0 n 如图所示 1 求这个抛物线的解析式 2 设 1 中的抛物线与x轴的另一个交点为c 抛物线的顶点为d 试求出点c d的坐标 并判断 bcd的形状 3 点p是直线bc上的一个动点 点p不与点b和点c重合 过点p作x轴的垂线 交抛物线于点m 点q在直线bc上 距离点p为个单位长度 设点p的横坐标为t pmq的面积为s 求出s与t之间的函数关系式 1 思维教练 先解一元二次方程 求出a b两点的坐标 然后用待定系数法求出抛物线的解析式 解 解方程x2 4x 3 0 得 1 3 m n是方程x2 4x 3 0的两根 且 m n m 1 n 3 把点a 1 0 b 0 3 代入y x2 bx c 得1 b c 0 c 3 解得b 2 c 3 这个抛物线的解析式为y x2 2x 3 2 思维教练 先求出抛物线与x轴的交点坐标 再判断出 boc和 bed都是等腰直角三角形 从而得到结论 解 令y 0 则 解得 1 3 点c的坐标为 3 0 又 顶点d的坐标为 1 4 如解图 过d作de y轴于点e ob oc 3 be de 1 boc和 bed都是等腰直角三角形 obc dbe 45 cbd 90 bcd是直角三角形 例2题解图 3 思维教练 由b c两点的坐标求出直线bc的解析式 由 pqf为等腰三角形 先求出qf 1 要求 pmq的面积 需分两种情况讨论 即当点p在点m上方和下方时 分别计算即可 解 由点b坐标为 0 3 点c坐标为 3 0 得直线bc的解析式为y x 3 点p的横坐标为t pm x轴 点m的横坐标为t 又 点p在直线bc上 点m在抛物线上 点p的坐标为 t t 3

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