重庆南开中学高2019级理科数学高考模拟试题(7)一选择题(本题共12小题/每小题5分/共60分/在每小题给出的四个选项中/只有一项是符合题目要求的)1/如果复数（，为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为（ ）A/ 1B/ -1C/ 3D/ -3【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解/【详解】，由题意知：，解得/故选D/【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题/2/若，则（ ）A/ B/ C/ D/ 【答案】C【解析】【分析】先求出***B，再求并集即可/【详解】由，得/故选C/【点睛】本题主要考查了***的描述法及并集的运算，属于基础题/3/向量，若，的夹角为钝角，则的范围是（ ）A/ B/ C/ 且D/ 【答案】C【解析】【分析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解/【详解】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，得/向量，共线时，得/此时/所以且/故选C/【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题/4/直线与圆的位置关系是( )A/ 相交B/ 相切C/ 相离D/ 不确定【答案】A【解析】【分析】确定直线过定点，点在圆内，得到答案/【详解】过定点，且，故在圆内，故直线和圆相交/故选：【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定直线过定点是解题的关键/5/ 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A/ 60种B/ 70种C/ 75种D/ 150种【答案】C【解析】试题分析：因/故应选C考点：排列数组合数公式及运用【此处有视频，请去附件查看】6/已知某个几何体的三视图如图/根据图中标出的尺寸/可得这个几何体的表面积是( )A/ B/ C/ D/ 【答案】B【解析】【分析】如图所示，还原几何体，证明，计算表面积得到答案/【详解】还原几何体，如图所示：连接 简单计算得到，故，平面，故/故， 表面积为： 故选： 【点睛】本题考查了三视图，表面积的计算，还原几何体是解题的关键/7/下列函数中最小正周期为且图像关于直线对称的是（ ）A/ B/ C/ D/ 【答案】A【解析】【分析】根据函数的周期和对称轴对选项进行排除，由此得出正确选项/【详解】由于函数的最小正周期为，由此排除D选项/将代入A选项，故是函数的对称轴，符合题意/ 将代入B选项，故不是函数的对称轴，排除B选项/ 将代入C选项，故不是函数的对称轴，排除C选项/故本小题选A/【点睛】本小题主要考查三角函数周期性知识，考查三角函数对称轴的特点，属于基础题/8/我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完/现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（ ）A/ ，B/ ，C/ ，D/ ，【答案】D【解析】【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可/【详解】根据题意可知，第一天，所以满足，不满足，故排除AB，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有，且，所以循环条件应该是/故选D/【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题/9/已知是第二象限角，且，则的值为（ ）A/ B/ C/ D/ 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式得，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得，再利用正切的二倍角公式可得解/【详解】由，得/因为是第二象限角，所以/故选C/【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题/10/已知函数；则的图像大致为（ ）A/ B/ C/ D/ 【答案】B【解析】试题分析：设，则，在上为增函数/在上为减函数，得或均有排除选项A，C，又中/，得且，故排除D/综上，符合的只有选项B/故选B/考点：1、函数图象；2、对数函数的性质/【此处有视频，请去附件查看】11/已知抛物线焦点为，经过的直线交抛物线于，点，在抛物线准线上的射影分别为，以下四个结论：，的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2/其中正确的个数为（ ）A/ 1B/ 2C/ 3D/ 4【答案】C【解析】【分析】设直线为与抛物线联立，由韦达定理可判断，由抛物线定义可判断，由可判断，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断/【详解】物线焦点为，易知直线的斜率存在，设直线为/由，得/则，正确；，不正确； ，正确；的中点到抛物线的准线的距离 /当时取得最小值2 正确/故选C/【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题/12/已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A/ B/ C/ D/ 【答案】A【解析】【分析】根据，可以把不等式变形为：构造函数，知道函数的单调性，进而利用导数，可以求出实数的取值范围/【详解】因为，所以，设函数，于是有，而，说明函数当时，是单调递增函数，因为，所以，因此当时，恒成立，即，当时恒成立，设，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，函数有最小值，即为，因此不等式，当时恒成立，只需，故本题选A/【点睛】本题考查了通过构造函数，得知函数的单调性，利用导数求参问题，合理的恒等变形是解题的关键/二填空题(本题共4小题/每小题5分/共20分)13/(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_/【答案】40【解析】【分析】先求出的展开式的通项，再求出即得解/【详解】设的展开式的通项为，令r=3/则，令r=2/则，所以展开式中含x3y3的项为/所以x3y3的系数为40/故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平/14/在锐角三角形中，分别为角、所对的边，且，且的面积为，的值为_【答案】5【解析】【分析】由正弦定理边化角可得，由面积公式和余弦定理列方程可得/【详解】由，结合正弦定理可得/在锐角三角形中，可得/所以的面积，解得/由余弦定理可得，解得/故答案为5/【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题/15/如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上/（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面/将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则_【答案】2n-1/【解析】【详解】设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数n=1时，h（1）=1；n=2时，小盘2柱，大盘3柱，小柱从2柱3柱，完成，即h（2）=3=22-1；n=3时，小盘3柱，中盘2柱，小柱从3柱2柱，用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成，h（3）=h（2）h（2）+1=32+1=7=23-1，h（4）=h（3）h（3）+1=72+1=15=24-1，以此类推，h（n）=h（n-1）h（n-1）+1=2n-1，故答案为/2n-116/一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，则该四面体的外接球的体积为_【答案】【解析】【分析】将四面体补充为长宽高分别为的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解/【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线，所以球半径为，体积为/【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题/三解答题(本大题共6小题/共70分/解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)(一)必考题/共60分/17/设数列满足/(1)求证/数列是等比数列/(2)求数列的前项和/【答案】(1)证明见解析/(2)/【解析】【分析】（1）计算得到，得到证明/（2）计算，利用分组求和法计算得到答案/【详解】(1)/，故 故是首项为1/公比为的等比数列/(2) 故故【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列方法，公式的综合应用/18/某市对高二学生期末理科数学测试的数据统计显示/全市10000名学生的成绩服从正态分布/现从甲校100分以上(含100分)的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析(试卷编号为001/002/200)统计如下/试卷编号试卷得分109118112114126128127124126120试卷编号试卷得分135138135137135139142144148150注/表中试卷编(1)写出表中试卷得分为144分的试卷编号(写出具体数据即可)/(2)该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷/将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图)在甲乙两校这40份学生的试卷中/从成绩在140分以上(含140分)的学生中任意抽取3人/该3人在全市排名前15名的人数记为/求随机变量的分布列和期望/附/若随机变量服从正态分布/则//【答案】(1)180/(2)分布列见解析//【解析】【分析】（1）根据等距抽样定义直接得到答案/（2）根据正态分布得到15名的成绩全部在146分以上，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案/【详解】(1)因为200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷/所以相邻两份试卷编号相差为10/所以试卷得分为144分的试卷编号180/(2)/根据正态分布可知//即15名的成绩全部在146分以上/(含146分)/根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上含146分)的有3人/而成绩在140分以上含140分)的有8人/的取值为0/1/2/3/的分布列为0123因此/【点睛】本题考查了等距抽样，正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力/19/如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值【答案】（1）见证明；（2）/【解析】【分析】（1）通过侧面底面，可以证明出面，这样可以证明出，再利用平面，可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明出面，最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面；（2）利用三棱锥体积公式可得，利用基本不等式可以求出三棱锥体积最大值，此时可以求出的长度，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系求出相应点的坐标，求出面的一个法向量，面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角的余弦值/【详解】（1）证明：侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，当且仅当，即时，的最大值为如图所示，分别取线段，中点，连接，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系由已知，所以，令为面的一个法向量，则有，易知为面的一个法向量，二面角的平面角为，为锐角则/【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、基本不等式的应用，以及利用空间向量的数量积求二面角余弦值的问题/20/已知点，的坐标分别为，三角形的两条边，所在直线的斜率之积是（I）求点的轨迹方程：（II）设直线方程为，直线方程为，直线交于点，点，关于轴对称，直线与轴相交于点若面积为，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)本题可以先将点的坐标设出，然后写出直线的斜率与直线的斜率/最后根据、所在直线的斜率之积是即可列出算式并通过计算得出结果；(2)首先可以联立直线的方程与直线的方程，得出点两点的坐标，然后联立直线的方程与点的轨迹方程得出点坐标并写出直线的方程，最后求出点坐标并根据三角形面积公式计算出的值【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标分别为、，所以直线的斜率，直线的斜率，由题目可知，化简得点的轨迹方程；（2）直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故/将与联立，消去，整理得，解得，或，根据题目可知点，由可得直线的方程为，令，解得，故，所以，的面积为又因为的面积为，故，整理得，解得，所以【点睛】本题考查轨迹方程以及直线相交的综合应用问题，处理问题的关键是能够通过“、所在直线的斜率之积是”列出等式以及使用表示出三点的坐标，然后根据三角形面积公式得出算式，即可顺利解决问题，计算量较大，是难题21/已知（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间：（2）时，求证：【答案】（1） 单调递增区间为，单调递减区间为； （2）见解析/【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，由是函数的极值点，解得，又由，进而得到函数的单调区间；（2）由（1），进而得到函数的单调性和最小值，令，利用导数求得在上的单调性，即可作出证明/【详解】（1）由题意，函数的定义域为，又由，且是函数的极值点，所以，解得，又时，在上，是增函数，且，所以，得，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为/（2）由（1）知因为，在上，是增函数，又（且当自变量逐渐趋向于时，趋向于），所以，使得，所以，即，在上，函数是减函数，在上，函数是增函数，所以，当时，取得极小值，也是最小值，所以，令，则，当时，函数单调递减，所以，即成立，【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的最值，从而得到证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题(二)选考题/共10分/请考生在第2223两题中任选一题作答/注意/只能做所选定的题目如果多做/则按所做的第一个题目计分/选修4-4/坐标系与参数方程22/在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半

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